В работе рассматривается образование некоторых винтовых линий и построение их проекций в четырехмерном пространстве и сделано обобщение на n-мерное пространство.
При вращении прямой вокруг осевой плоскости в четырехмерном пространстве точка, перемещающаяся равномерно и поступательно по этой прямой, опишет винтовую линию. В зависимости от того, будет ли вращающаяся прямая пересекаться с осевой плоскостью (в собственной, несобственной точке) или скрещиваться в ней, мы получим коническую, цилиндрическую или гиперболоидальную винтовую линию. Линия целиком принадлежит одному трехмерному пространству, перпендикулярному осевой плоскости. Выведены уравнения проекций гиперболоидальной винтовой линии в параметрической форме.
При вращении плоскости вокруг осевой плоскости, пересекающейся с ней в точке и одновременно совершающей поступательное движение в направлении, перпендикулярном гиперплоскости, определяемой вращающейся плоскостью, получается четырехмерный геликоид. Если на движущейся плоскости взять прямую, то точка, совершающая поступательное равномерное движение по этой прямой, опишет винтовую линию, принадлежащую четырехмерному пространству. В зависимости от того, проходит ли указанная прямая через общую точку вращающейся и осевой плоскостей, получаем коническую или гиперболоидальную винтовую линию. Если эта общая точка несобственная — имеем цилиндрическую или опять гиперболоидальную винтовую линию.
Для рационального расположения проекций описанной винтовой линии на 2-эпюре удобно выбрать осевую плоскость так, чтобы она была вполне перпендикулярна к одной из плоскостей проекций и полуперпендикулярна к двум другим. Тогда на плоскость осевая плоскость спроецируется в точку, а на две другие плоскости проекций — в прямые, перпендикулярные оси проекций. При вращении точки вокруг осевой плоскости она в любой момент находится в плоскости, абсолютно перпендикулярной к ней, и, следовательно, в плоскости, вполне параллельной Пи Построены проекции каждой из рассмотренных винтовых линий на все плоскости проекций.